Das erste Kirchhoffsche Gesetz / Knotenregel

Das erste Kirchhoffsche Gesetz lässt sich auf zwei Arten formulieren, wobei die Kernaussage natürlich identisch ist:

• Alternative 1: Die Summe der zufließenden Ströme in einem geschlossenen Stromkreis ist gleich der Summe der abfließenden Ströme.
• Alternative 2: Die Summe aller Ströme aus Sicht eines Knotenpunktes ist 0.

Dies lässt sich sehr einfach an den folgenden Abbildungen und Formeln erkennen:

Der Gesamtstrom I_ges fließt in den mit "Stromzufluss" bezeichneten Knotenpunkt 1 hinein. Darunter sind drei parallel geschaltete Widerstände erkennbar. I_ges teilt sich nun auf die drei Widerstände auf. Je kleiner der jeweils betrachtete Widerstand ist, umso größer ist der Strom, der ihn durchfließt. I_ges teilt sich also in die Teilströme I₁, I₂ und I₃ auf. Kirchhoff stellte fest, dass die Summe der drei Teilströme I₁, I₂ und I₃ gleich dem Gesamtstrom I_ges ist.

In Knotenpunkt 2 fließen die drei Teilströme I₁, I₂ und I₃ wieder zusammen. Ihre Summe ergibt wieder I_ges.

Mathematisch formuliert lautet die entsprechende Formel für dieses Beispiel mit drei Widerständen demnach:

Dies gilt natürlich auch für mehr als drei Ströme. Die allgemeingültige Formel lautet somit:

Das zweite Kirchhoffsche Gesetz / Maschenregel

Das erste Kirchhoffsche Gesetz betrachtet also die Ströme (bzw. deren Verteilung) in einem geschlossenen Stromkreis. Es liegt nahe, dass Kirchhoff sich im Anschluss hieran mit der Verteilung der elektrischen Spannungen beschäftigte. Schauen Sie sich hierzu einmal die folgende Abbildung an:

Zunächst fällt auf, dass die drei Widerstände nicht parallel sondern in Reihe (hintereinander) geschaltet sind: Es gibt keinen Knotenpunkt, an dem sich der Gesamtstrom in Teilströme aufteilen kann. Daraus folgt, dass alle Widerstände vom gleichen Strom durchflossen werden.

Mit dem Ohmschen Gesetz lassen sich sehr einfach die Spannungen errechnen, die an jedem der Widerstände abfallen. Die Gesamtspannung U_ges setzt sich demnach aus den drei Teilspannungen U₁, U₂ und U₃ zusammen. Wenn aber nach dem ersten Kirchhoffschen Gesetz die Summe aller Ströme = 0 ist, so muss auch die Summe aller Teilspannungen = 0 sein. Dies funktioniert auch, wenn man davon ausgeht, dass die vom Generator erzeugte Spannung den Teilspannungen an den Widerständen entgegengesetzt wirkt. Zur Betrachtung der einzelnen Spannungen wurde daher der Begriff "Maschenumlauf" eingeführt (in der Abbildung durch den Kreis in der Mitte der Schaltung dargestellt). Wenn die Generatorspannung den Spannungen an den Widerständen entgegengesetzt wirkt, so kann man dies formelmäßig folgendermaßen beschreiben:

Sie sehen, dass Formel 15 identisch zu Formel 14 ist: Einzig die Formelzeichen für den Strom I in Formel 14 wurden durch das Formelzeichen für die Spannung U ersetzt.

Anwendungen

Vielleicht stellen Sie sich nun die Frage, wofür diese Formeln eingesetzt werden können. Die folgende Schaltung wird in zwei Beispielen verwendet:

Vorwiderstand

Eine typische Anwendung der Kirchhoffschen Regeln liegt in der Dimensionierung sogenannter Vorwiderstände. Sie werden verwendet, um Verbraucher an eine bestimmte Spannung anzupassen. Eine unerwünschte Eigenschaft elektronischer Schaltungen ist die Vergeudung von Energie: Diese wird als Wärme an die Umgebung abgegeben und geht somit verloren. Durch die Bestimmung eines geeigneten Vorwiderstandes kann dieser Effekt verringert werden. Der Vorwiderstand wird in der gezeigten Schaltung als R₁ bezeichnet, der Verbraucher hat die Bezeichnung R₂.

Spannungsteiler

Eine weitere typische und häufige Anwendung der Erkenntnisse aus den Kirchhoffschen Gesetzen liegt in der Dimensionierung von Spannungsteilern. Die Anwendung hat große Ähnlichkeit mit der Berechnung von Vorwiderständen. Die Frage, die hier gestellt wird, lautet: Welchen Wert muss R₂ haben, damit eine vorgegebene Spannung U₂ an ihm abfällt?

Die Antwort wird durch Anwendung des zweiten Kirchhoffschen Gesetzes, der Maschenregel, eingeleitet.